Stability of fractional discrete-time linear scalar systems with one delay

eng Article in English DOI:

Mikołaj Busłowicz Faculty of Electrical Engineering, Białystok University of Technology, Poland

Download Article

Abstract

In the paper the problems of practical stability and asymptotic stability of fractional discrete-time linear scalar systems with one constant delay are addressed. Standard and positive systems are considered. New conditions for practical stability and for asymptotic stability are established.

Keywords

delay, discrete-time, fractional system, linear system, scalar, stability

Stabilność dyskretnych skalarnych układów liniowych niecałkowitego rzędu z jednym opóźnieniem

Streszczenie

Rozpatrzono problem stabilności liniowych skalarnych układów dyskretnych niecałkowitego rzędu z jednym opóźnieniem zmiennych stanu. Wykorzystując metodę podziału D, podano graficzne warunki konieczne i wystarczające praktycznej stabilności. Bazując na tych warunkach, sformułowano proste analityczne warunki wystarczające stabilności praktycznej oraz stabilności asymptotycznej. W przypadku układów dodatnich podano proste analityczne warunki konieczne i wystarczające stabilności praktycznej oraz stabilności asymptotycznej.

Słowa kluczowe

opóżnienie, stabilność, układ dyskretny, układ liniowy, układ niecałkowitego rzędu, układ skalarny

Bibliography

  1. Ackermann J., Sampled-data Control Systems. Springer, Berlin 1985.
  2. Das. S., Functional Fractional Calculus for System Identification and Controls. Springer, Berlin 2008.
  3. Busłowicz M., Simple stability conditions for linear positive discrete-time systems with delays. “Bulletin of the Polish Academy of Sciences, Technical Sciences”, Vol. 56, No. 4, 2008, 325-328.
  4. Busłowicz M., Stability of state-space models of linear continuous-time fractional order systems. “Acta Mechanica et Automatica”, Vol. 5, No. 2, 2011, 15-22.
  5. Busłowicz M., Stability analysis of continuous-time linear systems consisting of n subsystems with different fractional orders. “Bulletin of the Polish Academy of Sciences, Technical Sciences”, Vol. 60, No. 2, 2012, 279-284.
  6. Busłowicz M., Practical stability of scalar discretetime linear systems of fractional order. In: Świerniak A. Krystek J. (Eds.), Automatyzacja procesów dyskretnych: teoria i zastosowania, Gliwice 2012, Vol. 1, 31-40 (in Polish).
  7. Busłowicz M., Simple analytic conditions for stability of fractional discrete-time linear systems with diagonal state matrix. “Bulletin of the Polish Academy of Sciences, Technical Sciences” (in press).
  8. Busłowicz M., Kaczorek T., Simple conditions for practical stability of linear positive fractional discrete-time linear systems. “International Journal of Applied Mathematics and Computer Science”, Vol. 19, No. 2, 2009, 263-269.
  9. Dzieliński A., Czyronis P.M., Fixed finite time optimal control problem for fractional dynamic systems - linear quadratic discrete-time case. In: Busłowicz M., Malinowski K. (Eds), Advances in Control Theory and Automation. Printing House of Białystok University of Technology, Białystok 2012, 71-80.
  10. Dzieliński A., Sierociuk D., Stability of discrete fractional state-space systems. “Journal of Vibration and Control”, Vol. 14, 2008, 1543-1556.
  11. Dzieliński A., Sierociuk D., Sarwas G., Some applications of fractional order calculus. “Bulletin of the Polish Academy of Sciences, Technical Sciences”, Vol. 58, No. 4, 2010, 583-592.
  12. Gryazina E.N., Polyak B.T., Tremba A.A., Ddecomposition technique state-of-the-art. Automation and Remote Control, Vol. 69, No. 12, 2008, 1991-2026.
  13. Guermah S., Djennoune S., Bettayeb M., A new approach for stability analysis of linear discrete-time fractional-order systems. In: Baleanu D. et al. (Eds), New Trends in Nanotechnology and Fractional Calculus Applications. Springer, 2010, 151-162.
  14. Kaczorek T., Practical stability of positive fractional discrete-time systems. “Bulletin of the Polish Academy of Sciences, Technical Sciences”, Vol. 56, No. 4, 2008, 313-317.
  15. Kaczorek T., Wybrane zagadnienia teorii układów niecałkowitego rzędu. Oficyna Wydawnicza Politechniki Białostockiej, Białystok 2009.
  16. Kaczorek T., Selected Problems of Fractional Systems Theory. Springer, Berlin 2011.
  17. Klamka J., Local controllability of fractional discretetime nonlinear systems with delay in control. In: Busłowicz M., Malinowski K. (Eds), Advances in Control Theory and Automation. Printing House of Białystok University of Technology, Białystok 2012, 25-34.
  18. Monje C., Chen Y., Vinagre B., Xue D., Feliu V., Fractional-order Systems and Controls. Springer-Verlag, London 2010.
  19. Ostalczyk P., Zarys rachunku różniczkowo-całkowego ułamkowych rzędów - teoria i zastosowania w automatyce. Wydawnictwa Politechniki Łódzkiej, Łódź 2008.
  20. Petras I., Stability of fractional-order systems with rational orders: a survey. Fractional Calculus & Applied Analysis. “An International Journal for Theory and Applications”, Vol. 12, 2009, 269-298.
  21. Podlubny I., Fractional Differential Equations. Academic Press, San Diego 1999.
  22. Ruszewski A., Stability regions of closed loop system with time delay inertial plant of fractional order and fractional order PI controller. “Bulletin of the Polish Academy of Sciences, Technical Sciences”, Vol. 56, No. 4, 2008, 329-332.
  23. Sabatier. J., Agrawal O.P., Machado J.A.T. (Eds), Advances in Fractional Calculus, Theoretical Developments and Applications in Physics and Engineering. Springer, London 2007.
  24. Stanisławski R, Hunek W.P., Latawiec K.J., Normalized finite fractional discrete-time derivative - a new concept and its application to OBF modeling. “Measurement Automation and Monitoring”, Vol. 57, No. 3, 2011, 241-243.