Zezwala się na korzystanie z artykułu na warunkach licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0

Artykuł recenzowany nadesłany 5.06.2015 r., przyjęty do druku 30.10.2015 r.

DOI: 10.14313/PAR_218/5

Optymalizacja parametryczna regulatora niecałkowitego rzędu typu PD

Marta Zagórowska

AGH Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica, al. Mickiewicza 30, 30-059 Kraków

Streszczenie: W artykule przeanalizowano zachowanie układu całkowitego rzędu ze sprzężeniem zwrotnym niecałkowitego rzędu. Przedstawiono nową metodę doboru optymalnych parametrów dla regulatorów typu PDα we wspomnianych układach z nieskończonym horyzontem. Zaprezentowano wykorzystaną metodę aproksymacji układów niecałkowitego rzędu z wykorzystaniem funkcji Laguerre’a oraz sformułowano problem w postaci zagadnienia minmax. Pokazano również przykładowy przebieg optymalizacji ze względu na parametry związane z typem aproksymacji.

Słowa kluczowe: układ niecałkowitego rzędu, sterowanie niecałkowitego rzędu, sprzężenie zwrotne, optymalizacja, PD, funkcje Laguerre’a

1. Wstęp

Układy niecałkowitego rzędu są jedną z nowych gałęzi teorii sterowania. Ich analiza ma na celu nie tyle wyparcie klasycznych teorii, co pewne ich rozszerzenie i uzupełnienie.

W artykule przeanalizowano metodę optymalizacji parametrów regulatora PD. Głównym zadaniem było znalezienie sposobu doboru parametrów, który pozwoli zminimalizować normę w L2[0, +∞) odpowiedzi impulsowej układu zamkniętego. W tym celu zastosowano aproksymację normy za pomocą funkcji Laguerre’a, ilustrując wyniki za pomocą 4 systemów niecałkowitego rzędu o różnej dynamice.

Przykładami prac zajmujących się tematyką układów niecałkowitego rzędu, są na przykład [1–4]. Większość publikacji skupia się na właściwościach, np. [5] oraz zastosowaniach, np. [6–8]. Wcześniejsze informacje nt. optymalizacji parametrycznej, zarówno pod kątem symulacji, jak i eksperymentów, można znaleźć m.in. w [1, 8–11]. Ciekawe podejście zaproponowano w [12–14], gdzie autorzy analizowali ideę odpornego regulatora niecałkowitego rzędu.

Głównym elementem artykułu jest zastosowanie metody aproksymacji, opisanej w [15, 5, 16], do opracowania nowego sposobu strojenia regulatorów niecałkowitego rzędu.

Artykuł stanowi wstęp do badań nad optymalizacją układów niecałkowitego rzędu. Został podzielony na kilka części. Najpierw przedstawiono zarys problemu i propozycję eksperymentów do przeprowadzenia. Następnie zaprezentowano wybraną metodę aproksymacji z uwzględnieniem przyjętego wskaźnika jakości. Kolejna część jest poświęcona algorytmowi optymalizacji – przedstawiono wyniki symulacyjne oraz częściową analizę zbieżności. Na zakończenie przedstawiono wnioski i zarys dalszych prac.

2. Opis problemu

2.1. Analizowany układ

Przeanalizowano układ z rys. 1, gdzie

Rys. 1. Zamknięty układ regulacji

Fig. 1. Closed-loop system

(1)

z regulatorem niecałkowitego rzędu typu PDα

(2)

Transmitancja układu zamkniętego ma postać

(3)

W przypadku zerowej wartości zadanej umiejscowienie regulatora w torze sprzężenia zwrotnego jest równoważne umieszczeniu w torze głównym.

Wybrano cztery typy układów (1), których zachowanie determinują bieguny z tabeli 1.

Wybór takiego układu pozwala np. zaobserwować destabilizację układu ze wzrostem wzmocnienia (niemożliwe w układzie rzędu 2). Efekt wrażliwości osiągnięto również dla układów z opóźnieniem (zob. [17]).

Tabela 1. Cztery typy zachowań układu (1)

Table 1. Four types of system (1)

Bieguny (1)

b

c

d

e

ID wielomianu

–1, –2, –3, –4

10

35

50

24

1

–1

4

6

4

1

2

–2–i, –2+i, –1–i, –1+i

6

15

18

10

3

–2, –1, –1–i, 1+i

5

10

10

4

4

2.2. Optymalizacja

Głównym celem prowadzonych badań było znalezienie optymalnych wartości parametrów: , KD oraz KP. W tym celu wybrano następującą funkcję celu

(4)

gdzie g(t) oznacza odpowiedź impulsową układu (3).

3. Metoda aproksymacji

Metoda aproksymacji odpowiedzi impulsowej może zostać zastosowana do równań typu (opisanego np. w [1]):

(5)

gdzie j ≤ σj ≤ j+1, j = 1, 2, …, n, j ≤ gj ≤ j+1, j = 1, 2, …, m, pj, qj ∈R.

Warunki początkowe są zerowe. Zakłada się również, że |u(t)| ≤ umax dla t ≥ 0 oraz u(t) = 0 dla t < 0 [5]. Z uwagi na przyjęte wartości warunków początkowych, operator różniczkowania może być zarówno typu Caputo, jak i Riemanna-Liouville’a. Można zauważyć, że przy powyższych założeniach rozważa się układy rzędu co najmniej 1.

Transmitancja równania (5) ma postać

(6)

którego rozwiązanie jest dane splotem

(7)

Można pokazać, że rozwiązanie (7) równania (5) może zostać aproksymowane układem n liniowych równań różniczkowych zwyczajnych [5].

Twierdzenie 1 (zob. [5]) podaje warunki, jakie muszą być spełnione aby znaleźć aproksymację o minimalnym błędzie.

Twierdzenie 1. Jeśli g ∈L1(0, ∞) ∪ L2(0, ∞) oraz |u(t)| ≤ umax wtedy:

1. Rozwiązanie równania (5) może być aproksymowane przez

(8)

gdzie funkcje ξk(t) : [0, ∞) → R są rozwiązaniem układu

(9)

ξk(0) = 0, k = 0, 1, 2, …, n

oraz

(10)

2. Dla każdego ε > 0 istnieje n0 zależna od g, ε oraz umax taka, że błąd aproksymacji n(t) = x(t) − xn(t) spełnia nierówność

|n(t)|< ε (11)

dla każdego n ≥ n0 oraz t ≥ 0.

Dowód. Dowód znajduje się np. w [5]. □

Funkcje ek(θ, m) tworzą ortonormalny zbiór funkcji Laguerre’a parametryzowany przez m > 0, określony wzorem:

(12)

gdzie Lk są wielomianami Lagerre’a, oraz k = 0, 1, 2, …. Dodatkowo, zob. [5], wykorzystując fakt, że g ∈L2(0, ∞) oraz na podstawie przemienności operacji splotu dostaje się zależność między ξk oraz ek

(13)

Wzór (10) nie nadaje się do implementacji numerycznej. W [5] autorzy zaprezentowali formułę rekurencyjną, która pozwala efektywnie obliczyć wartości współczynników. Została ona także zastosowana w niniejszym artykule.

Jednym z aspektów, na jaki należy zwrócić uwagę, jest dobór parametru m. Jego wybór determinuje funkcja celu określona wzorem

(14)

maksymalizowana ze względu na m (szczegóły w [5]).

Celem doboru regulatora jest minimalizacja normy odpowiedzi impulsowej g(t). Korzystając z wybranej metody aproksymacji oraz właściwości szeregów ortonormalnych można znaleźć analityczną postać wskaźnika jakości.

Bezpośrednio ze wzoru (10) można zauważyć, że

(15)

Biorąc pod uwagę, że ek(θ, m) są ortonormalne w L 2[0, +∞)

(16)

gdzie

(17)

Można zauważyć, że

(18)

Łatwo zauważyć, że

(19)

Wówczas zależności (14) oraz (19) są sobie równe, a optymalizacja odpowiedzi impulsowej jest problemem typu minmax. W pierwszym kroku następuje maksymalizacja wskaźnika jakości ze względu na m, a następnie poszukuje się minimalnej wartości ze względu na parametry regulatora.

4. Algorytm optymalizacji

Optymalizacja może być przeprowadzona z wykorzystaniem dowolnego algorytmu optymalizacji. W tym przypadku zastosowano algorytm Neldera-Meada, zaimplementowany w środowisku MATLAB/Optimization Toolbox.

1. Wybrać wartości początkowe α, KD oraz KP.

2. Przeprowadzić wstępną maksymalizację wskaźnika jakości (14) ze względu na m.

3. Wykonać jeden krok optymalizacji.

4. Przed obliczeniem (19) wykonać maksymalizację ze względu na m.

5. Zaktualizować wartości α, KD oraz KP zgodnie w wybraną metodą optymalizacji.

6. Powtarzać kroki 2–5 aż do osiągnięcia zadanej dokładności.

5. Wyniki

Rozważono dwa sposoby postępowania. W pierwszym ustalono wartość i przeprowadzono optymalizację wyłącznie dla parametrów KD i KP. Zdecydowano się na przetestowanie wartości z zakresu 0,5–1,5. Dla każdej wartości minimalizowano cztery transmitancje o parametrach określonych w tabeli 1. Wyniki pierwszego podejścia zostały wykorzystane jako punkty startowe w drugim etapie, gdzie optymalizowano również wartość .

Tabela 2. Wyniki dla ustalonego α
Table 2. Results for fixed α

KP

KD

wskaźnik jakości

ID
wielomianu

0,5

10,601

152,38

1,7547

1,6164

1

0,6

–3,1367

157,44

1,8281

0,7516

1

0,7

34,555

249,15

1,4391

0,29579

1

0,8

47,138

307,78

3,9306

0,10515

1

0,9

64,501

390,14

3,4072

0,035171

1

1,1

373,39

225,66

5

0,017421

1

1,2

592,3

356,88

1,7884

0,014513

1

1,3

887,05

286,58

1,7894

0,01641

1

1,4

3794,8

342,67

3,8473

0,0028629

1

1,5

4311,7

291,9

3,8693

0,002199

1

0,5

–4,3727

17,078

0,95104

24,605

2

0,6

–2,0258

13,995

0,95303

10,037

2

0,7

–30,52

91,364

2,7187

1,7253

2

0,8

0,27642

13,98

1,4922

1,5157

2

0,9

1,5166

19,058

1,2956

0,58241

2

1,1

506,31

2313,4

4,1255

0,00011033

2

1,2

117,63

148,79

3,4084

0,0094293

2

1,4

112,49

104,44

5

0,012071

2

1,5

120,11

74,376

1,145

0,019376

2

0,5

–9,5579

66,916

0,99571

3,4021

3

0,6

–6,7391

57,279

0,93829

1,7691

3

0,7

–5,0591

40,414

1,4347

0,86502

3

0,8

–5,8715

93,316

1,1451

0,30837

3

0,9

0,35245

78,326

1,2546

0,14081

3

1,1

288,16

475,46

2,1471

0,0048739

3

1,2

125,87

155,15

5

0,024456

3

1,3

977,79

248,05

2,0518

0,01098

3

1,4

258,86

79,355

5

0,032846

3

1,5

295,84

84,453

5

0,0163

3

0,5

71,287

21,833

2,9241

16,426

4

0,6

20,005

25,392

1,9548

3,9668

4

0,7

0,71273

29,175

0,7794

1,5688

4

0,8

3,9467

25,824

1,902

0,62471

4

0,9

–5,3143

73,452

2,0709

0,19688

4

1,1

24,498

27,853

4,0727

0,18316

4

1,2

38,406

28,62

4,1612

0,18331

4

1,3

124,79

109,05

5

0,021496

4

1,4

125,06

98,213

5

0,01964

4

1,5

51,857

22,898

3,583

0,14819

4

–

5.1. Optymalizacja ze względu na KP oraz KD

5.1.1. Punkty startowe

Założono, że układ niecałkowitego rzędu (3) dla α bliskiego 1 będzie się zachowywał podobnie do układu całkowitego rzędu z klasycznym regulatorem PD. W ten sposób został zidentyfikowany zakres parametrów, dla których układ zamknięty jest stabilny. W dalszych pracach zostaną wykorzystane kryteria stabilności podane w [18].

Na podstawie kryterium Hurwitza określono zakres parametrów dla układu całkowitego rzędu (rys. 2). Jako warunek początkowy optymalizacji (KP0,KD0) wybrano centralne punkty zakropkowanego obszaru

(20)

Rys. 2. Zakres stabilności układu całkowitego rzędu. Zakropkowany obszar oznacza dopuszczalne wartości parametrów KP oraz KD

Fig. 2. Stability region for integer order system. Dotted region denotes admissible values of KP and KD

Uwzględniając fakt, że analizowano wyłącznie stabilne systemy, takie podejście jest uzasadnione.

5.1.2. Optymalizacja

Wyniki symulacji zostały zebrane w tabeli 2. Najlepsze wyniki otrzymano dla

α = 1,5 dla transmitancji o czterech biegunach rzeczywistych (1),

α = 1,1 dla poczwórnego pierwiastka rzeczywistego oraz dwóch pierwiastków zespolonych sprzężonych (1),

α = 1,4 dla pierwiastków rzeczywistych i zespolonych (1).

Najgorszy wynik miał miejsce (w każdym przypadku) dla α = 0,5.

Można zauważyć, że w tabeli brakuje niektórych wartości α, np. α = 1,3. Prawdopodobnie niektóre wartości KP i KD leżą poza dopuszczalnym zakresem, powodując nieoczekiwane zachowania układu. Warto również zauważyć, że dla niektórych zestawów parametrów pojawia sie m = 5. To oznacza, że osiągnięta została górna granica zakresu (0, 5), w jakim poszukiwana była optymalna wartość m. Zwiększanie zakresu powodowało numeryczne problemy wynikające z postaci funkcji celu (funkcja niewypukła).

Na wykresach 3, 4, 5, 6 przedstawiono najlepsze i najgorsze wyniki dla każdego typu transmitancji (rysunki odpowiednio 3a, 4a, 5a, 6a, 3b, 4b, 5b, 6b). Dodatkowo pokazano zmianę przebiegów w przypadku zmiany stopnia aproksymacji (rysunki odpowiednio 3c, 4c, 5c, 6c, 3d, 4d, 5d, 6d). Dla wszystkich nowych przypadków przeprowadzono optymalizację ze względu na .

(a) Odpowiedź impulsowa α = 1,5 oraz n = 10 dla wielomianu typu 1

(a) Impulse response for α = 1.5 and n = 10 for polynomial 1

(b) Odpowiedź impulsowa α = 0,5 oraz n = 10 dla wielomianu typu 1

(b) Impulse response for α = 0.5 and n = 10 for polynomial 1

(c) Odpowiedź impulsowa α = 1,5 oraz n = 5 dla wielomianu typu 1

(c) Impulse response for α = 1.5 and n = 5 for polynomial 1

(d) Odpowiedź impulsowa α = 0,5 oraz n = 5 dla wielomianu typu 1

(d) Impulse response for α = 0.5 and n = 5 for polynomial 1

Rys. 3. Odpowiedzi impulsowe dla różnych parametrów dla wielomianów typu 1

Fig. 3. Impulse responses for different parameters for polynomial 1

(a) Odpowiedź impulsowa α = 1,1 oraz n = 10 dla wielomianu typu 2

(a) Impulse response for α = 1.1 and n = 10 for polynomial 2

(b) Odpowiedź impulsowa α = 0,5 oraz n = 10 dla wielomianu typu 2

(b) Impulse response for α = 0.5 and n = 10 for polynomial 2

(c) Odpowiedź impulsowa α = 1,1 oraz n = 5 dla wielomianu typu 2

(c) Impulse response for α = 1.1 and n = 5 for polynomial 2

(d) Odpowiedź impulsowa α = 0,5 oraz n = 5 dla wielomianu typu 2

(d) Impulse response for α = 0.5 and n = 5 for polynomial 2

Rys. 4: Odpowiedzi impulsowe dla różnych parametrów dla wielomianów typu 2

Fig. 4. Impulse responses for different parameters for polynomial 2

(a) Odpowiedź impulsowa α = 1,1 oraz n = 10 dla wielomianu typu 3

(a)Impulse response for α = 1.1 and n = 10 for polynomial 3

(b) Odpowiedź impulsowa α = 0,5 oraz n = 10 dla wielomianu typu 3

(b) Impulse response for α = 0.5 and n = 10 for polynomial 3

(c) Odpowiedź impulsowa α = 1,1 oraz n = 5 dla wielomianu typu 3

(c) Impulse response for α = 1.1 and n = 5 for polynomial 3

(d) Odpowiedź impulsowa α = 0,5 oraz n = 5 dla wielomianu typu 3

(d) Impulse response for α = 0.5 and n = 5 for polynomial 3

Rys. 5. Odpowiedzi impulsowe dla różnych parametrów dla wielomianów typu 3

Fig. 5. Impulse responses for different parameters for polynomial 3

Można zauważyć, że zmiana rzędu aproksymacji wpływa na odpowiedź impulsową, a tym samym na wartość wskaźnika jakości. Na podstawie wykresów można również stwierdzić, że charakter odpowiedzi impulsowej jest determinowany przez wartości parametrów α, KP, KD oraz m, natomiast dokładność odwzorowania zależy od stopnia

(a) Odpowiedź impulsowa α = 1,4 oraz n = 10 dla wielomianu typu 4

(a) Impulse response for α = 1.4 and n = 10 for polynomial 4

(b) Odpowiedź impulsowa α = 0,5 oraz n = 10 dla wielomianu typu 4

(b) Impulse response for α = 0.5 and n = 10 for polynomial 4

(c) Odpowiedź impulsowa α = 1,4 oraz n = 5 dla wielomianu typu 4

(c) Impulse response for α = 1.4 and n = 5 for polynomial 4

(d) Odpowiedź impulsowa α = 0,5 oraz n = 5 dla wielomianu typu 4

(d) Impulse response for α = 0.5 and n = 5 for polynomial 4

Rys. 6. Odpowiedzi impulsowe dla różnych parametrów dla wielomianów typu 4

Fig. 6. Impulse responses for different parameters for polynomial 4

5.2. Optymalizacja ze względu na α, KP oraz KD

Drugie podejście polegało na optymalizacji trzech parametrów α, KP, KD. Z uwagi na fakt, że funkcja celu jest silnie nieliniowa ze względu na α, można oczekiwać, że pojawią się pewne komplikacje numeryczne, np. związane ze zbiorem wartości dopuszczalnych.

Jako wartości początkowe przyjęto wyniki α, KP, KD z poprzedniego podejścia. W ten sposób optymalizacja wystartowała ze zbioru dopuszczalnego. Wyniki optymalizacji przedstawiono w tabeli 3.

Tabela 3. Wyniki optymalizacji z uwzględnieniem α

Table 3. Results of optimization with respect to α

α

KP

KD

μ

wskaźnik jakości

ID
wielomianu

0,65609

4,5285

193,91

2,0802

0,48221

1

0,65218

–2,5845

191,33

2,0533

0,49555

1

1,0395

332,82

694,38

2,1274

0,0048554

1

0,99487

152,59

1390,6

1,1545

0,0023715

1

1,0572

329,74

289,19

4,9999

0,015266

1

1,0478

544,63

611,49

2,0614

0,0048195

1

1,7454

866,9

294,17

1,2265

0,0056207

1

1,4019

3799,1

342,66

1,0661

0,0028121

1

1,5

4311,7

291,9

3,8693

0,002199

1

0,74756

–1,5135

21,256

1,2303

2,3375

2

0,99951

–1,0989

66,833

2,0982

0,15648

2

0,70674

–30,064

92,263

2,7411

1,6017

2

0,83388

0,21636

17,669

1,2142

1,0668

2

1,0323

1,6228

68,788

2,1627

0,13333

2

1,3443

119

97,038

3,1715

0,0060493

2

1,4216

112,4

104,37

5

0,011978

2

1,7686

150,29

124,05

0,71287

0,0041165

2

0,57258

–9,3111

60,668

0,0051455

2,0956

3

0,6

–6,7391

57,279

0,028491

1,7691

3

0,91747

–88,718

1267,2

4,2165

0,0046598

3

0,94566

0,36519

1291,7

0,0044146

0,0035341

3

1,0389

132,22

684,76

2,3471

0,0030971

3

1,1635

130,61

157,35

5

0,014763

3

0,9817

50,702

2109,8

5

0,00017628

4

0,90732

–5,3453

73,45

2,072

0,18798

4

1,501

54,088

23,74

5

0,14049

4

1,3863

124,91

100,88

5

0,019628

4

1,3915

124,94

98,476

5

0,019615

4

Niektóre wyniki zostały przedstawione na rysunkach 7. We wszystkich przykładach przyjęto n = 10.

Najlepsze wyniki zostały osiągnięte dla α = 0,9817 dla czwartego typu wielomianu. Można również zauważyć, że w tym przypadku w tabeli 3 brakuje większej liczby wartości. Wynika to z faktu, że funkcja celu jest silnie nieliniowa ze względu na α.

(a) Odpowiedź impulsowa α = 1,4 oraz n = 5 dla wielomianu typu 4

(a) Impulse response for α = 1.4 and n = 5 for polynomial 4

(b) Odpowiedź impulsowa dla α = 1,3443 dla wielomianu typu 2

(b) Impulse response for α = 1.3443 for the ID 2 characteristic polynomial

(c) Odpowiedź impulsowa dla α = 1,0389 dla wielomianu typu 3

(c) Impulse response for α = 1.0389 for the ID 3 characteristic polynomial

(d) Odpowiedź impulsowa dla α = 0,9817 dla wielomianu typu 4

(d) Impulse response for α = 0.9817 for the ID 4 characteristic polynomial

Rys. 7. Odpowiedzi impulsowe dla różnych parametrów dla przypadku optymalizacji trzech parametrów

Fig. 7. Impulse responses for various parameters – optimization with respect to three parameters

5.3. Zbieżność μ

Jednym z interesujących aspektów tej metody jest analiza zachowania parametru m podczas optymalizacji. Trudność polega na wyborze odpowiedniej metody, w celu znalezienia optymalnych wartości parametrów, które minimalizują wskaźnik jakości (zależny od m). Na rys. 8 zostały przedstawione zmiany m w trakcie kolejnych iteracji metody. Jak widać, wartości dosyć szybko zbiegają do optymalnej wielkości. Etapy, które wymagałyby znaczącej zmiany m, a tym samym zmiany odpowiedzi impulsowej, zostały odrzucone w trakcie optymalizacji, ponieważ nie poprawiały wskaźnika jakości.

Rys. 8. Wartości μ podczas optymalizacji dla α = 1,1 dla pierwszego typu (1)

Fig. 8. The values of μ during optimization for α = 1.1 for polynomial 1

6. Podsumowanie i wnioski

Podejście zaproponowane w tym artykule prezentuje optymalizację regulatorów niecałkowitego rzędu z nieskończonym horyzontem. W dalszej części badań zostaną przeanalizowane np. modele liniowe z opóźnieniem, o wiele bardziej użyteczne, jako że są szeroko stosowane w strojeniu regulatorów.

Ważnym elementem jest także określenie zakresu parametrów, przy których obiekt pozostaje stabilny. Dodatkowo można rozważać inne typy regulatorów oraz różne wskaźniki jakości. Zasadniczo wszystkie całkowe wskaźniki z nieskończonym horyzontem mogą zostać zastosowane, ich określenie będzie jednak wymagało działania na aproksymowanym układzie (8)–(9). Także zastosowanie innego zestawu funkcji aproksymujących może dać interesujące rezultaty. Istotnym elementem będzie także porównanie regulatora niecałkowitego rzędu z klasycznym przypadkiem regulatora PD, m.in. w celu zbadania, jaki wpływ ma zwiększenie liczby stopni swobody regulatora.

Poszukiwanie odpowiedniej metody optymalizacji, która pozwoli na szybkie znajdowanie optymalnej wartości μ w trakcie minimalizacji wskaźnika ze względu na parametry regulatora będzie ważną częścią prowadzonych badań. Warto również będzie zwrócić uwagę na wrażliwość optymalizacji ze względu na parametr a – zwłaszcza analityczne wyliczenia pochodnych po α mogą dać obiecujące wyniki.

Podziękowania

Praca została zrealizowana w ramach projektu Projektowanie i zastosowanie podsystemów niecałkowitego rzędu w układach sterowania finansowanego przez Narodowe Centrum Nauki na podstawie umowy nr DEC-2013/09/D/ST7/03960.

Bibliografia

Podlubny I., Fractional Differential Equations: An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, to Methods of Their Solution and Some of Their Applications, ser. Mathematics in Science and Engineering. Elsevier Science, 1998.

Petráš I., Fractional-Order Nonlinear Systems: Modeling, Analysis and Simulation, ser. Nonlinear Physical Science. Springer, 2011. DOI: 10.1007/978-3-642-18101-6.

Diethelm K., The Analysis of Fractional Differential Equations: An Application-Oriented Exposition Using Differential Operators of Caputo Type, ser. Lecture Notes in Mathematics. Springer, 2010, [Online]. https://books.google.pl/books?id=K4vKvX98SM8C. DOI: 10.1007/978-3-642-14574-2.

Kaczorek T., Selected Problems of Fractional Systems Theory, ser. Lecture Notes in Control and Information Sciences. Springer, 2011. DOI: 10.1007/978-3-642-20502-6.

Bania P., Baranowski J., Laguerre polynomial approximation of fractional order linear systems, [in:] Advances in the Theory and Applications of Non-integer Order Systems: 5th Conference on Non-integer Order Calculus and Its Applications, Cracow, Poland, Mitkowski W., Kacprzyk J., Baranowski J., Eds. Springer, 171–182, 2013. DOI: 10.1007/978-3-319-00933-9_15.

Piątek P., Baranowski J., Investigation of Fixed-Point Computation Influence on Numerical Solutions of Fractional Differential Equations, “Acta Mechanica et Automatica”, vol. 5, no. 2, 101–107, 2011.

Bauer W., Baranowski J., Mitkowski W., Non-integer order PIαD m control ICU-MM, [in:] Advances in the Theory and Applications of Non-integer Order Systems: 5th Conference on Non-integer Order Calculus and Its Applications, Cracow, Poland, Mitkowski W., Kacprzyk J., Baranowski J., Eds. Springer, 295–303, 2013. DOI: 10.1007/978-3-319-00933-9_27.

Dziwiński T., Bauer W., Baranowski J., Piątek P., Zagórowska M., Robust non-integer order controller for air heater, [in:] 19th International Conference On Methods and Models in Automation and Robotics (MMAR), IEEE, 434–438, 2014. DOI: 10.1109/MMAR.2014.6957393.

Kawala-Janik A., Podpora M., Baranowski J., Bauer W., Pelc M., Innovative approach in analysis of EEG and EMG signals – Comparision of the two novel methods, [in:] 19th International Conference On Methods and Models in Automation and Robotics (MMAR), IEEE, 804–807, 2014. DOI: 10.1109/MMAR.2014.6957459.

Bauer W., Dziwiński T., Baranowski J., Piątek P., Zagórowska M., Comparison of performance indices for tuning of PI λD m controller for magnetic levitation system, [in:] Advances in Modelling and Control of Non-integer-Order Systems – 6th Conference on Non-Integer Order Calculus and its Applications, Latawiec K.J., Łukaniszyn M., Stanisławski R., Eds. Springer, 2014. DOI: 10.1007/978-3-319-09900-2_12.

Meng L., Xue D., Design of an optimal fractional-order PID controller using multi-objective GA optimization, [in:] Control and Decision Conference, CCDC’09. Chinese. IEEE, 3849–3853, 2009. DOI: 10.1109/CCDC.2009.5191796.

Kesarkar A.A., Selvaganesan N., Design of fractional order robust controller for universal plant structure, [in:] Engineering (NUiCONE), 2011 Nirma University International Conference on. IEEE, 1–4, 2011. DOI: 10.1109/NUiConE.2011.6153305.

Kesarkar A.A., Selvaganesan N., Novel tuning expressions for fractional order (PDβ and PIα) controllers using a generalized plant structure, “Journal of Control Engineering and Applied Informatics”, vol. 17, no. 1, 2015, 70–80.

Kesarkar A.A., Selvaganesan N., Tuning of optimal fractional-order PID controller using an artificial bee colony algorithm, “Systems Science & Control Engineering: An Open Access Journal”, vol. 3, no. 1, 2015, 99–105.

Baranowski J., Zagórowska M., Bania P., Bauer W., Dziwiński T., Piątek P., Impulse response approximation method for bi-fractional filter, [in:] 19th International Conference On Methods and Models in Automation and Robotics (MMAR), IEEE, 2014, 379–383. DOI: 10.1109/MMAR.2014.6957383.

Zagórowska M., Baranowski J., Bania P., Piątek P., Bauer W., Dziwiński T., Impulse response approximation method for ”fractional order lag”, [in:] Advances in Modelling and Control of Noninteger-order Systems – 6th Conference on Non-Integer Orfer Caculus and its Applications, Latawiec K.J., Łukaniszyn M., Stanisławski R., Eds. Springer, 2014. DOI: 10.1007/978-3-319-09900-2_11.

Zagórowska M., Parametric optimization of non-integer order PDμ controller for delayed system, [in:] Theoretical Developments and Applications of Non-Integer Order Systems, ser. Lecture Notes in Electrical Engineering, Domek S., Dworak P., Eds. Springer International Publishing, vol. 357, 2016, 259–270.

Matignon D., Stability results for fractional differential equations with applications to control processing, [in:] Computational engineering in systems applications, vol. 2. Lille France, 1996, 963–968.

Parametric optimization of non-integer order controller PDα

Abstract: In this paper we analysed the behaviour of an integer order system with non-integer control function. We presented a new method for tuning the non-integer order controllers PDα for use in systems with infinite horizon. An approximation method for non-integer order systems was presented (using Laguerre functions) along with the definition of the issue in form of minmax problem. Finally some examples were analysed with respect to parameters specific for this approximation.

Keywords: non-integer order systems, PDα controller, feedback, optimization, Laguerre functions

mgr inż. Marta Zagórowska

zagor@agh.edu.pl

Doktorantka na Wydziale Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej w Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie. Absolwentka Automatyki i Robotyki oraz Matematyki Stosowanej w AGH. Zainteresowania naukowe: industrial mathematics, teoria sterowania, układy niecałkowitego rzędu.