O stabilności układów regulacji z czasem opóźnienia

pol Artykuł w języku polskim DOI: 10.14313/PAR_256/5

wyślij Robert Bieda Politechnika Śląska, Wydział Automatyki, Elektroniki i Informatyki, Katedra Automatyki i Robotyki, ul. Akademicka 2A, 44-100 Gliwice

Pobierz Artykuł

Streszczenie

W artykule przedstawiono proces rozszerzenia kryterium Nyquista na wariant obliczeniowy umożliwiający badanie stabilności układów regulacji z czasem opóźnienia To > 0. Zdefiniowano warunki konieczne stabilności takich układów oraz zaprezentowano schemat działania umożliwiający wyznaczenie przedziałów wartości czasów opóźnienia gwarantujących stabilne działanie struktury pętlowej układu regulacji. W ramach analizy proponowanego rozwiązania zaprezentowane zostały wyniki procesu badania stabilności układów regulacji dla przykładowych dynamik zastępczych struktury pętlowej. Na przykładzie prezentowanych układów pokazane zostały właściwości proponowanego mechanizmu badania stabilności układów z opóźnieniem oraz sposób interpretacji uzyskanych wyników.

Słowa kluczowe

dynamika z czasem opóźnienia, kryterium stabilności Nyquista, quasi-wielomian charakterystyczny, trajektoria graniczna, układ regulacji

On the Stability of Control Systems with Time Delay

Abstract

The article presents the process of extending the Nyquist criterion to a computational variant that allows the study of the stability of control systems with delay time To > 0. Necessary conditions for the stability of such systems are defined, and an operation scheme is presented that allows for determining the ranges of delay times that guarantee stable operation of the loop structure of the control system. As part of the analysis of the proposed solution, the results of the stability study process for control systems with example substitute dynamics of the loop structure are presented. The properties of the proposed stability testing mechanism for systems with delay and the interpretation of the obtained results are demonstrated using the example of the presented systems.

Keywords

boundary trajectory, control system, dynamics with delay time, Nyquist stability criterion, quasi-characteristic polynomial

Bibliografia

  1. Rudnicki R., Modele i metody biologii matematycznej. Część I: Modele deterministyczne, IM PAN, Warszawa 2014.
  2. Chen-Charpentier B., Delays and Exposed Populations in Infection Models, "Mathematics", Vol. 11, No. 8, 2023, DOI: 10.3390/math11081919.
  3. Venkatesh A., Prakash Raj M., Baranidharan B., Analyzing dynamics and stability of single delay differential equations for the dengue epidemic model, “Results in Control and Optimization”, Vol. 15, 2024, DOI: 10.1016/j.rico.2024.100415.
  4. Åström K.J., Hägglund T., PID controllers: theory, design and tuning, 2nd Ed., Instrument Society of America, 1995.
  5. Houpis C.H., Sheldon S.N., D’Azzo J.J., Linear Control System Analysis and Design with MATLAB, 5th Ed., CRC Press, 2003.
  6. Kurek J., Aproksymacja modelem inercyjnym I rzędu z opóźnieniem układu inercyjnego n-tego rzędu, „Pomiary Automatyka Robotyka”, R. 14, Nr 11, 2010, 49–51.
  7. Busłowicz M., Asymptotyczna stabilność dynamicznych układów liniowych stacjonarnych z opóźnieniem, Zeszyty Naukowe Politechniki Białostockiej, Nauki Techniczne nr 84, Elektryka nr 7, Białystok 1987.
  8. Busłowicz M., Odporna stabilność układów dynamicznych liniowych stacjonarnych z opóźnieniami, Komitet Automatyki i Robotyki PAN, Dział Wydawnictw i Poligrafii Politechniki Białostockiej, Warszawa-Białystok, 2000.
  9. Bodnar M., Piotrowska M.J., O równaniach różniczkowych z opóźnieniem – teoria i zastosowania, Matematyka Stosowana: matematyka dla społeczeństwa, Warszawa 2010, T. 11/52, 17–56.
  10. Olgac N., Sipahi R., An exact method for the stability analysis of time-delayed linear time-invariant (LTI) systems, “IEEE Transactions on Automatic Control”, Vol. 47, No. 5, 2002, 793–797, DOI: 10.1109/TAC.2002.1000275.
  11. Marshall J.E., Walton K., A Review of Analytical Methods for Control of Time-Delay Systems, “IFAC Proceedings Volumes”, Vol. 20, No. 1, 1987, 485–490, DOI: 10.1016/S1474-6670(17)59348-9.
  12. Maddi A., Guessoum A., Berkani D., Graphical Stabilization Approach for Unstable First Order Linear Systems with Time Delay, “International Journal of Applied Mathematics, Electronics and Computers”, 2017, DOI: 10.18100/ijamec.2017SpecialIssue30464.
  13. Molnar C.A., Balogh T., Boussaada I., Insperger T., Calculation of the critical delay for the double inverted pendulum, “Journal of Vibration and Control”, Vol. 27, No. 3-4, 2020, DOI: 10.1177/1077546320926909.
  14. Nise N.S., Control Systems Engineering, 6th Ed., John Wiley & Sons, 2010.
  15. Kuo B.C., Golnaraghi F., Automatic Control Systems, 9th Ed., John Wiley & Sons, 2010.
  16. Dorf R.C., Bishop R.H., Modern Control Systems, 12th Ed., Prentice Hall, 2011.
  17. Åström K.J., Murray R.M., Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers, Second Edition, Princeton University Press, 2021.
  18. Greblicki W., Podstawy Automatyki, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, 2006.
  19. Emirsajłow Z., Teoria układów sterowania. Cz. 1, Układy liniowe z czasem ciągłym, WEPS. Wydaw. Uczelniane Politechniki Szczecińskiej, 2000.
  20. Franklin G.F., Powell J.D., Emami-Naeini A., Feedback Control of Dynamic Systems, 7th Ed., Pearson, 2015.
  21. Rosołowski E., Automatyczne sterowanie i regulacja, Procesy ciągłe i dyskretne, Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa, 2020.
  22. Bieda R., Grygiel R., O strojeniu regulatorów cyfrowych z wykorzystaniem mechanizmów quasi-ciągłych, „Przegląd Elektrotechniczny”, Vol. 100, Nr 1, 2024, 9–15, DOI: 10.15199/48.2024.01.02.
  23. Dostál P., Bobál V., Babík Z., Control of unstable and integrating time delay systems using time delay approximations, “WSEAS Transactions on Systems”, Vol. 11, No. 10, 2012, 586–595.
  24. Nowacki P., Szklarski L., Górecki H., Podstawy teorii układów regulacji automatycznej, Tom II, Zagadnienia specjalne układów liniowych, Układy nieliniowe, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1962.
  25. Qing-Chang Z., Robust Control of Time-delay Systems, Springer London, January 2006.