Numerical Analysis of the Discrete, Fractional Order PID Controller using FOBD and CFE Approximations

eng Article in English DOI: 10.14313/PAR_257/5

send Krzysztof Oprzędkiewicz AGH University, Faculty of Electrical Engineering, Automatic Control, Informatics and Biomedical Engineering

Download Article

Abstract

This paper presents the numerical analysis of the discrete, approximated Fractional Order PID Controller (FOPID). The fractional parts of the controller are approximated with the use of the most known methods: Fractional Order Backward Difference (FOBD) and Continuous Fraction Expansion (CFE). CFE is simpler and faster than the FOBD method, but its accuracy is not always satisfying. For both approximations optimum sample time was found by minimizing of the cost function Integral Absolute Error (IAE). Additionally, to optimize of CFE its parameter a was applied. Results of numerical tests show that the FOPID using FOBD is more accurate in the sense of IAE cost function for FOPI and FOPID controllers, but CFE is more accurate for FOPD controller. Next, the FOBD requires to use of smaller sample time to obtain of good accuracy than CFE. This allows to conclude that FOPD controller using CFE can be applied in time critical applications at bounded platforms, for example in robotics or numerical control.

Keywords

accuracy, CFE approximation, FOBD approximation, FOPID controller, IAE cost function, numerical complexity

Analiza numeryczna dyskretnego regulatora PID niecałkowitego rzędu, wykorzystującego aproksymacje FOBD i CFE

Streszczenie

W pracy zaprezentowano analizę numeryczną dyskretnego regulatora PID niecałkowitego rzędu, w którym akcje: całkująca i różniczkująca są aproksymowane z użyciem dwóch typowych aproksymacji dyskretnych: FOBD i CFE. CFE jest szybsza i prostsza, natomiast nie zawsze zapewnia wystarczającą dokładność. Dla obu badanych aproksymacji wyznaczono okres próbkowania zapewniający uch najlepszą dokładność w sensie funkcji kosztu IAE. W przypadku aproksymacji CFE w optymalizacji wykorzystano dodatkowo współczynnik a. Wyniki testów numerycznych wskazują, że zastosowanie aproksymacji FOBD zapewnia lepszą dokładność dla regulatorów FOPID i FOPI, natomiast dla regulatora FOPD lepszą opcją jest zastosowanie CFE. Regulator FOBD dla zapewnienia dobrej dokładności wymaga stosowania krótszego okresu próbkowania, niż CFE. Podsumowując, w krytycznych czasowo aplikacjach pracujących na sprzęcie o ograniczonej mocy obliczeniowej (np. robotyka, sterowanie numeryczne lub urządzenia IoT) można rekomendować zastosowanie regulatora FOPD wykorzystującego aproksymację CFE.

Słowa kluczowe

aproksymacja CFE, aproksymacja FOBD, dokładność, IAE, regulator FOPID, wskaźniki jakości, złożoność numeryczna

Bibliography

  1. Al-Alaoui M.A., Novel digital integrator and differentiator, “Electronics Letters”, Vol. 29, No. 4, 1993, 376–378, DOI: 10.1049/el:19930253.
  2. Vinagre B.M., Podlubny I., Hernandez A., Feliu V., Some approximations of fractional order operators used in control theory and applications, “Fractional Calculus and Applied Analysis”, Vol. 3, No. 3, 2000, 231–248.
  3. Busłowicz M., Kaczorek T., Simple conditions for practical stability of positive fractional discrete-time linear systems, “International Journal of Applied Mathematics and Computer Science”, Vol. 19, No. 2, 2009, 263–269, DOI: 10.2478/v10006-009-0022-6.
  4. Caponetto R., Dongola G., Fortuna L., Petras I., Fractional order systems: Modeling and Control Applications, 2010, DOI: 10.1142/7709.
  5. Das S., Functional Fractional Calculus for System Identification and Control, Springer, Berlin 2010.
  6. Kaczorek T., Selected Problems of Fractional Systems Theory, Springer, Berlin 2011.
  7. Kaczorek T., Rogowski K., Fractional Linear Systems and Electrical Circuits. Bialystok University of Technology, Bialystok, 2014.
  8. Dorcak L., Petráš I., Terpak J., Zbrojovan M., Comparison of the methods for discrete approximation of the fractional-order operator. Proceedings of the ICCC’2003 conference, May 26-29, High Tatras, Slovak Republic, 2003, 851–856.
  9. Oprzędkiewicz K., Numerical properties of discrete approximations of an elementary fractional order transfer function, “Przegląd Elektrotechniczny”, R. 99, Nr 7, 2023, 117–123, DOI: 10.15199/48.2023.07.22.
  10. Oprzędkiewicz K., Numerical analysis of the discrete, fractional order PID controller using FOBD approximation, “Pomiary Automatyka Robotyka”, R. 28, Nr 3, 2024, 17–122, DOI: 10.14313/PAR_253/117.
  11. Oprzędkiewicz K., Accuracy estimation of digital fractional order PID controller, [In:] Theory and applications of non-integer order systems, Lecture Notes in Electrical Engineering, Vol. 407, 2017, 265–275, DOI: 10.1007/978-3-319-45474-0_24.
  12. Oprzędkiewicz K., Gawin E., A non-integer order, state space model for one dimensional heat transfer process, “Archives of Control Sciences”, Vol. 26, No. 2, 2016, 261–275, DOI: 10.1515/acsc-2016-0015.
  13. Ostalczyk P., Equivalent descriptions of a discrete-time fractional-order linear system and its stability domains, “International Journal of Applied Mathematics and Computer Science”, Vol. 22, No. 3, 2012, 533–538, DOI: 10.2478/v10006-012-0040-7.
  14. Ostalczyk P., Discrete Fractional Calculus. Applications in Control and Image Processing, World Scientific, New Jersey, London, Singapore, 2016.
  15. Petráš I., Fractional-order feedback control of a DC motor, “Journal of Electrical Engineering”, Vol. 60, No. 3, 2009, 117–128.
  16. Podlubny I., Fractional Differential Equations, Academic Press, San Diego, 1999.
  17. Stanisławski R., Latawiec K., Łukaniszyn M., A Comparative Analysis of Laguerre-Based Approximators to the Grünwald-Letnikov Fractional-Order Difference, “Mathematical Problems in Engineering”, 2015, DOI: 10.1155/2015/512104.
  18. Chen Y.Q., Moore K.L., Discretization schemes for fractional-order differentiators and integrators, “IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications”, Vol. 49, No. 3, 2002, 363–367, DOI: 10.1109/81.989172.